【算術漫談】六十四卦方圖與加法（1）

文 ◎ 九數

以數解卦，這是一條通往過去未來的道路。在古代東方，以邵雍學說為頂峰；在近代西方，以萊布尼茲為開拓者；在當代世界，有眾多的人在探索……

河圖洛書八卦，這是古代中國人的「數」學。在前文中，我們介紹了北宋理學家邵雍的傳世之作《伏羲先天六十四卦次序方圓圖》。以數解卦，這是一條通往過去未來的道路。在古代東方，以邵雍學說為頂峰；在近代西方，以萊布尼茲為開拓者；在當代世界，有眾多的人在探索。

本文繼續考慮邵雍的六十四卦方圖排列形式。表中六十四卦的書寫格式為：下卦在前，上卦在後。（電腦時代，由於書寫方式的變化，我只好用這樣不同於古人的辦法了。）

坤坤，坤艮，坤坎，坤巽，坤震，坤離，坤兌，坤乾
艮坤，艮艮，艮坎，艮巽，艮震，艮離，艮兌，艮乾
坎坤，坎艮，坎坎，坎巽，坎震，坎離，坎兌，坎乾
巽坤，巽艮，巽坎，巽巽，巽震，巽離，巽兌，巽乾
震坤，震艮，震坎，震巽，震震，震離，震兌，震乾
離坤，離艮，離坎，離巽，離震，離離，離兌，離乾
兌坤，兌艮，兌坎，兌巽，兌震，兌離，兌兌，兌乾
乾坤，乾艮，乾坎，乾巽，乾震，乾離，乾兌，乾乾

（一）對稱加法數表

方圖與洛書很像，都是方陣形式。有很多人嘗試將這個六十四卦方圖化為八行八列數陣，當年德國人萊布尼茲的天才創見是化為0-1數表，這個思路我們在前面文中已經考慮過。對於今人來說，一個常見的簡單辦法是對卦數作加法。首先，將八卦配上八個數；接著，在六十四卦方圖中，將每個卦換成上卦與下卦各自所配之數的和，這樣就得到了一張加法數表。

卦名：坤，艮，坎，巽，震，離，兌，乾
卦數：a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8
和數：數表中第i行第j列的數為ai+aj，這裏i，j取數1-8。

a1+a1, a1+a2, a1+a3, a1+a4, a1+a5, a1+a6, a1+a7, a1+a8
a2+a1, a2+a2, a2+a3, a2+a4, a2+a5, a2+a6, a2+a7, a2+a8
a3+a1, a3+a2, a3+a3, a3+a4, a3+a5, a3+a6, a3+a7, a3+a8
a4+a1, a4+a2, a4+a3, a4+a4, a4+a5, a4+a6, a4+a7, a4+a8
a5+a1, a5+a2, a5+a3, a5+a4, a5+a5, a5+a6, a5+a7, a5+a8
a6+a1, a6+a2, a6+a3, a6+a4, a6+a5, a6+a6, a6+a7, a6+a8
a7+a1, a7+a2, a7+a3, a7+a4, a7+a5, a7+a6, a7+a7, a7+a8
a8+a1, a8+a2, a8+a3, a8+a4, a8+a5, a8+a6, a8+a7, a8+a8

這一類數陣，看上去比較平凡，數字沿主對角線對稱排列。第i行第j列的數與第j行第i列的數相同。（ai+aj=aj+ai。）

我們舉一個簡單的例子。

卦數：a1=01, a2=02, a3=03, a4=04, a5=06, a6=07, a7=08, a8=09。

02，03，04，05，07，08，09，10
03，04，05，06，08，09，10，11
04，05，06，07，09，10，11，12
05，06，07，08，10，11，12，13
07，08，09，10，12，13，14，15
08，09，10，11，13，14，15，16
09，10，11，12，14，15，16，17
10，11，12，13，15，16，17，18

這一類數陣，也是有非常有意義的，只是這本文並不作計算。純粹從數的角度來看，八行八列只是一個例子，同樣可以計算九行九列，乃至更大更小。對於我們來說，寫具體的數字，比寫字母符號更接近日常習慣。所得的加法數表，有甚麼用呢？這是很多人關心的一個問題，考慮到古人的各種陣法，也許有人會製作成實物模型。

（二）非對稱加法數表

在前面的對稱加法數表中，我們忽略了卦的位置——上卦與下卦，現在考慮新的配數方法，區分上卦和下卦。首先，將排在上卦的八卦配上八個數；接著，將排在下卦的八卦配上八個數；然後，在六十四卦方圖中，將每個卦換成上卦與下卦各自所配之數的和，這樣就得到了一張加法數表。

（為了和對稱加法數表區別，我們總約定：上卦配數和下卦配數不可以完全相同。）

卦名：坤，艮，坎，巽，震，離，兌，乾
下卦：a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8
上卦：b1, b2, b3, b4, b5, b6, b7, b8
和數：數表中第i行第j列的數為ai+bj，這裏i，j取數1-8。

a1+b1, a1+b2, a1+b3, a1+b4, a1+b5, a1+b6, a1+b7, a1+b8
a2+b1, a2+b2, a2+b3, a2+b4, a2+b5, a2+b6, a2+b7, a2+b8
a3+b1, a3+b2, a3+b3, a3+b4, a3+b5, a3+b6, a3+b7, a3+b8
a4+b1, a4+b2, a4+b3, a4+b4, a4+b5, a4+b6, a4+b7, a4+b8
a5+b1, a5+b2, a5+b3, a5+b4, a5+b5, a5+b6, a5+b7, a5+b8
a6+b1, a6+b2, a6+b3, a6+b4, a6+b5, a6+b6, a6+b7, a6+b8
a7+b1, a7+b2, a7+b3, a7+b4, a7+b5, a7+b6, a7+b7, a7+b8
a8+b1, a8+b2, a8+b3, a8+b4, a8+b5, a8+b6, a8+b7, a8+b8

前文中，我們已經認識到了，在六十四卦方圖中，同樣可以劃分轉盤結構。本文中，我們對新的數表作同樣的嘗試。在這裏，我們給出上述八行八列非對稱加法數表的一種常見模式——全等差數陣。為方便理解，我們同時也給出一個簡單的數字示例。在計算的時候，為了簡潔，我們仍然考慮計算轉盤結構和螺旋結構，這是二種具有典範意義的基本結構。

洛書旋機方程組

數字等和a+b+c+d=e+f+g+h
平方等和a^2+b^2+c^2+d^2=e^2+f^2+g^2+h^2
立方等和a^3+b^3+c^3+d^3=e^3+f^3+g^3+h^3

這組方程，我們已經見過好多次了。面對八個未知數的三次方程，說實在的，我並不知道這樣的方程該如何求解。我知道的只是，如何藉助轉盤結構和螺旋結構，為這組方程提供無數無數的解。
（待續）◇