数，在古人眼中，可以经纬三才，控布四时。我知道洛书河图，即使按照今天人纯粹的数字观念，也可以在天灾信息预测上有所作为。

河图与洛书，这两张图，有许多相同的特点。按照古人的说法：一六共宗，二七同道，三八为朋，四九为友，五十同德。表现在图上，就是某些数总是排列在相邻位置上。正是这个原因，造成了河图洛书中出现了某些算术上的有趣现象。

在前面的短文中，我们已经看见了许多平方等和、立方等和的现象。然而，洛书中有无数的立方等和现象，河图却只有平方等和现象。这表明，从数字排列的角度来看，洛书的结构具有更丰富的特点。本篇，我们对照一下洛书与河图，给出一种中介形式的“纵横图”，使之沟通洛书与河图。

纵横图沟通洛书与河图

从数字排列形式来看，洛书是三行三列，河图是一纵一横。

■ 洛书：三行三列

四九二
三五七
八一六

■ 河图：一纵一横

七
二
八三五四九
一
六

现在考虑洛书的变化，请观察洛书中“四九五一六”和“二七五三八”这两条线。在万字符那篇短文中，我们计算过这两条线。仍然以五为中心，但是将这两条线拉直，得到纵横各一线的图式。结果是，纵线为“四九五一六”，横线为“八三五七二”。考虑到河图的参照形式，应该让小数在内，大数在外。接着调整一下，纵线变为“九四五一六”，横线变为“八三五二七”。这个新的图式，我们称作“纵横图”。

从复杂度来看，这个“纵横图”似乎非常简单，比洛书看上去简单，但是又比河图更接近人的常规思维。我想这大概是六、七岁小孩的一道算术题目吧。

九
四
八三五二七
一
六

洛书变化纵横图

有趣的循环路线

我们已经在洛书与河图中揭示了各自的一种有趣的循环路线。下面，我们以五为中心，选取三位数为例，将结果罗列出来。

■ 洛书

第一组数：五九二，五七六，五一八，五三四。

第二组数：五九四，五三八，五一六，五七二。

592+576+518+534=2220
594+538+516+572=2220
592^2+576^2+518^2+534^2=1235720
594^2+538^2+516^2+572^2=1235720
592^3+576^3+518^3+534^3=689842800
594^3+538^3+516^3+572^3=689842800

■ 河图

第一组数：五二九，五四六，五一八，五三七。

第二组数：五四七，五二八，五三六，五一九。

529+546+518+537=2130
547+528+536+519=2130
529^2+546^2+518^2+537^2=1134650
547^2+528^2+536^2+519^2=1134650
529^3+546^3+518^3+537^3=604653210
547^3+528^3+536^3+519^3=604654290

请注意，这里立方和不等。

■ 纵横图

第一组数：五四七，五二六，五一八，五三九。

第二组数：五二九，五四八，五三六，五一七。

547+526+518+539=2130
529+548+536+517=2130
547^2+526^2+518^2+539^2=1134730
529^2+548^2+536^2+517^2=1134730
547^3+526^3+518^3+539^3=604781550
529^3+548^3+536^3+517^3=604781550

将上面的计算结果对照一下，我们看见“纵横图”在排列形式上接近河图，在数字算术上接近洛书，作为洛书与河图的中介形式是可取的。

由于纵横图在排列形式上与河图接近，我们可以将河图的那套旋转机制安装在纵横图上了。具体的连线，这里就不写了。看文的朋友，如果有兴趣，可以自己去看有关河图的那篇漫谈。

纵横图内外大循环

■ 正向取数

九二一三四七六八，七一三四二六八九，六三四二一八九七，
八四二一三九七六。

■ 反向取数

九三一二四八六七，八一二四三六七九，六二四三一七九八，
七四三一二九八六。

92134768+71342689+63421897+84213976=311113330

93124867+81243679+62431798+74312986=311113330

92134768^2+71342689^2+63421897^2+84213976^2
=24692925520971730

93124867^2+81243679^2+62431798^2+74312986^2
=24692925520971730

92134768^3+71342689^3+63421897^3+84213976^3
=1997582820027709946741050

93124867^3+81243679^3+62431798^3+74312986^3
=1997582820027709946741050

计算的结果非常好，正是我们预期的形式，出现了数字等和、平方等和，以及立方等和。

这个纵横图内外大循环，已经包含了内外双圆上的全部八个数字。其余的一切加法等和现象，都可以看作是这个结果的变化形式，在规模上是无穷无尽。更多的算式，我们就不再写出来了。看文的朋友，如果有兴趣，可以对照河图那篇，自己作一些算术练习。

从算术的角度看，河图洛书，他们是非常简单的构图。纵横图作为一种中介形式，沟通河图与洛书，应该是可以成立的。不过，这里仍然只是揭示数字现象，还没有讲出这些现象在算术上的原理。这个问题，我想看文的朋友，如果有兴趣，一定会自己去探寻的。如果详细的写，那这漫谈就变成了数学公式的证明。我想结果一定会被我的朋友继续说成是枯燥的文。

对我来说，指出河图洛书中存在着有趣的数字现象，就已经完成了这个算术漫谈。至于洛书河图有甚么妙用，他们能不能导出一些新的启示，完全超越了漫谈的范围。数，在古人眼中，可以经纬三才，控布四时。我知道洛书河图，即使按照今天人纯粹的数字观念，也可以在天灾信息预测上有所作为。◇