【算術漫談】旋機在洛書中的體現

文 ◎ 九數

以數字算術的方式解洛書，探討洛書中的旋轉機制，實際上，這麼多算式所取的數可以達到任意大的程度，比如可以繞圈子循環自如的取數，這樣選八個九萬九千九百九十九位數，都是很輕鬆的。

仰觀天文，星移斗轉，烏飛兔走。在人類眼中，天地蒼穹就是一部大旋機。本篇繼續以數字算術的方式解洛書，探討的是洛書中的旋轉機制，也就是旋機是怎樣在洛書中體現的。

四九二
三五七
八一六

先介紹一個關於洛書的基本觀點。洛書，人們一般認為是方圖。比如九宮數的排列，三行三列，分明是一個正方形的樣子。如此，洛書也就被說成了方圖。然而，這個說法，只算一半；還有另一半，洛書也可以說成是圓圖。古人的解釋很簡單，九五一、三五七、四五六、二五八，這四組數的和都是十五，和「圓的直徑等長」這條圓的性質非常一致。如此，洛書也被說成是以數字五為圓心的一個圓圖，其餘八數則均勻分佈在圓周上。

歷史上，對這個洛書涵蓋方圓的問題，講得最清楚的是清代萬年淳。萬年淳，乾隆舉人，當過縣太爺，著有《洞庭湖志》。在萬年淳的儒學著作中，有一個外圓內方洛書圖式。遍搜古人著述，我以為此圖深合天機。

外圓內方洛書圖式的構造

畫一個圓，將五放在圓心，其餘八個數放在圓周上，構成漢字「米」的形狀。九在上，一在下；三在左，七在右；四在左上，六在右下；二在右上，八在左下。

接著，四二相連，二六相連，六八相連，八四相連。這是偶數正方形。

接著，九七相連，七一相連，一三相連，三九相連。這是奇數正方形。

如此，外圓內方的洛書圖式已成。

萬年淳的外圓內方洛書圖式是靜態呈現，現在我們考慮這一圖式的動態效果。取兩張外圓內方洛書圖式，按照下面的方式添加指向箭頭：

第一圖，四指向二，二指向六，六指向八，八指向四；九指向七，
七指向一，一指向三，三指向九；九指向二，二指向七，七指向六，
六指向一，一指向八，八指向三，三指向四，四指向九。這個圖稱為
正向旋機圖。

第二圖，四指向八，八指向六，六指向二，二指向四；九指向三，
三指向一，一指向七，七指向九；九指向四，四指向三，三指向八，
八指向一，一指向六，六指向七，七指向二，二指向九。這個圖稱為
反向旋機圖。

我們的圖已經製作好了，現在可以取數作算術了。取數的方法，仍然是正向旋機圖和反向旋機圖對應取數。

偶數四分之一圓弧

正向取數：四九二，二七六，六一八，八三四。

反向取數：四三八，八一六，六七二，二九四。

492+276+618+834=2220
438+816+672+294=
492^2+276^2+618^2+834^2=1395720
438^2+816^2+672^2+294^2=
492^3+276^3+618^3+834^3=956242800
438^3+816^3+672^3+294^3=

有位朋友提醒我，說你這些算式不會是錯的吧，要是瞎編的，那可影響不好啊，咱們要注意文章質量。哈哈，這個提醒好，這第一道算術，就留一半給看文的朋友自己來算吧。補充說明一下符號，^2表示平方， ^3表示立方。

奇數四分之一圓弧

正向取數：九二七，七六一，一八三，三四九。

反向取數：九四三，三八一，一六七，七二九。

927+761+183+349=2220
943+381+167+729=2220
927^2+761^2+183^2+349^2=1593740
943^2+381^2+167^2+729^2=1593740
927^3+761^3+183^3+349^3=1285946100
943^3+381^3+167^3+729^3=1285946100

偶數圓周

正向取數：
四九二七六一八三，二七六一八三四九，六一八三四九二七，八三四九二七六一。

反向取數：
四三八一六七二九，八一六七二九四三，六七二九四三八一，二九四三八一六七。

49276183+27618349+61834927+83492761=222222220
43816729+81672943+67294381+29438167=222222220
49276183^2+27618349^2+61834927^2+83492761^2
=13985514749033740
43816729^2+81672943^2+67294381^2+29438167^2
=13985514749033740
49276183^3+27618349^3+61834927^3+83492761^3
=959177030199175157646100
43816729^3+81672943^3+67294381^3+29438167^3
=959177030199175157646100

奇數圓周

正向取數：
九二七六一八三四，七六一八三四九二，一八三四九二七六，三四九二七六一八。

反向取數：
九四三八一六七二，三八一六七二九四，一六七二九四三八，七二九四三八一六。

92761834+76183492+18349276+34927618=222222220
94381672+38167294+16729438+72943816=222222220
92761834^2+76183492^2+18349276^2+34927618^2
=15965316729235720
94381672^2+38167294^2+16729438^2+72943816^2
=15965316729235720
92761834^3+76183492^3+18349276^3+34927618^3
=1289144023599835190642800
94381672^3+38167294^3+16729438^3+72943816^3
=1289144023599835190642800

這裏指出一點，實際上，一切的情形已經包含在「偶數圓周」和「奇數圓周」這兩種情況中了。請注意，從一到九，只有九個數字，不用五的話，組成沒有重複數字的數，最多只有八位數。因此，這兩種情形已經達到了極限情形。至於用五的話，那要求正向取數和反向取數在相同的數位上，同時都是五。這一點，在前面的一篇漫談文中，談及萬字符的時候，已經有範例了。

奇數正方形

正向取數：九七，七一，一三，三九。

反向取數：九三，三一，一七，七九。

97+71+13+39=220
93+31+17+79=220
97^2+71^2+13^2+39^2=16140
93^2+31^2+17^2+79^2=16140
97^3+71^3+13^3+39^3=1332100
93^3+31^3+17^3+79^3=1332100

偶數正方形

正向取數：四二，二六，六八，八四。

反向取數：四八，八六，六二，二四。

42+26+68+84=220
48+86+62+24=220
42^2+26^2+68^2+84^2=14120
48^2+86^2+62^2+24^2=14120
42^3+26^3+68^3+84^3=998800
48^3+86^3+62^3+24^3=998800

最後，給看文的朋友留一點算術練習吧。

直線圓弧

正向取數：四二七，二六一，六八三，八四九。

反向取數：四八一，八六七，六二九，二四三。

427+261+683+849=
481+867+629+243=
427^2+261^2+683^2+849^2=
481^2+867^2+629^2+243^2=
427^3+261^3+683^3+849^3=
481^3+867^3+629^3+243^3=

一般來說，正向取數為a，b，c，d；反向取數為e，f，g，h，那麼就有，

數之和等：a+b+c+d=e+f+g+h；

平方和等：a^2+b^2+c^2+d^2=e^2+f^2+g^2+h^2；

立方和等：a^3+b^3+c^3+d^3=e^3+f^3+g^3+h^3。

九數有盡算式無窮

我們寫了這麼多算式，實際上，所取的數可以達到任意大的程度，比如可以繞圈子循環自如的取數，這樣選八個九萬九千九百九十九位數，都是很輕鬆的。

九數有盡，算式無窮。

有的朋友一定會思考，這些平方等和、立方等和現象的背後，有沒有更深的內涵呢？這個問題已經接近本質，我知道更深的東西是甚麼。這裏只寫一句開玩笑的話，答案與天地人三才之道有關。

如果有機會再寫解洛書的文，或許我會詳細的談一談這個問題。說實話，作算術文章有點辛苦呢，需要反復演算，確認結果正確無誤。◇
　