【算術漫談】河圖中的數字規律

文 ◎ 九數

漫談算術，先論洛書，後談八卦，已有二篇，本篇解河圖。古聖先賢，推卦演易，不外乎理、氣、像、數。

古人云：天一生水，地六成之。這是古人的說法，歷代衍生出無數的著作。看上去，古人的說法，理論比較完備，有天有地，有陰有陽，有五行，有金木水火土，有諸數。

現代人，已經淡忘了古老的文化。在今天這個時代，人們看河圖，不過是一、二、三、四、五、六、七、八、九、十，按照某種特殊的方式排列而成。

我們走出古人的那種敘說方式，以數字的角度，從新解讀河圖。其實，即便是六歲的幼稚孩童，也可以認識河圖的。此種圓點表示數的圖式，對於開啟兒童的算術智慧有極高的價值。

先說河圖的排列方式。五放在中間，以上下左右來論，此為中。五之左，放三；三之左，放八。五之右，放四；四之右，放九。五之上，放二；二之上，放七。五之下，放一；一之下，放六。環繞五，放十，在中間。如此，諸數具足，河圖已成。

觀察一下河圖，橫看，自左至右，依次為八、三、五、四、九；縱看，自上而下，依次為七、二、五、一、六；十在五旁。

圖中有諸數，可歸為五組。上方，有七、二；下方，有六、一；左方，有八、三；右方，有九、四；中間，有十、五。

河圖，自古以來多用圓點表示數，可以排列成圓圖的形式。我們這裏用數字，看上去是縱橫圖。

規律之一：珠算

在珠算之前，人們用的是籌算。今天的人熟悉珠算，不太瞭解籌算。我們以珠算為例。

在算盤上，用算珠表示數。上珠一顆表示五，下珠一顆表示一。上下相合，珠落數出，可以簡約的表示大數。這是加法。

　　下方，五一六，5+1=6；

　　上方，五二七，5+2=7；

　　左方，五三八，5+3=8；

　　右方，五四九，5+4=9；

　　中間，五十，5+5=10。

也可以用來表示減法，這相當於，撥去上珠。

　　下方，五一六，6-5=1；

　　上方，五二七，7-5=2；

　　左方，五三八，8-5=3；

　　右方，五四九，9-5=4；

　　中間，五十，10-5=5。

還可以用來表示進位規律。

　　下方，五一六，5+6=1+10；

　　上方，五二七，5+7=2+10；

　　左方，五三八，5+8=3+10；

　　右方，五四九，5+9=4+10。

古人發明珠算，採用的是五升十進制，下位滿五，向上位升一；本位滿十，向高位進一。

今天的時代，珠算依然有深厚的生命力。珠算的生命力，根基全在於加減運算。

規律之二：旋轉

河圖中的數字規律。

取兩張河圖，按照下面的方式連線。

第一圖，七四相連，八二相連，六三相連，九一相連。

第二圖，七三相連，八一相連，六和四相連，九二相連。

兩張圖對照，仔細看一下，第一圖是左手螺旋圖，順時針方向；第二圖是右手螺旋圖，反時針方向。

兩張圖，按照相同的方法取數，可以得出有趣的數字規律。

先看內旋模式。

　　74+82+63+91=310
　　73+81+64+92=310
　　74^2+82^2+63^2+91^2=24450
　　73^2+81^2+64^2+92^2=24450

　　[註：3^2表示三的平方，三三得九，其餘類似。]

接著看外旋模式。

　　47+28+36+19=130
　　37+29+46+18=130
　　47^2+28^2+36^2+19^2=4650
　　37^2+29^2+46^2+18^2=4650

上面的取數方法，沒有用五，取的是兩位數，如果取三位數，也可以。將一、二、三、四都與五相連。

先看內旋模式。

　　745+825+635+915=3120
　　735+815+645+925=3120
　　745^2+825^2+635^2+915^2=2476100
　　735^2+815^2+645^2+925^2=2476100

接著看外旋模式。

　　547+528+536+519=2130
　　537+529+546+518=2130
　　547^2+528^2+536^2+519^2=1134650
　　537^2+529^2+546^2+518^2=1134650

相比之下，取三位數，更符合旋轉圖有個旋轉中心的規律。

上面的數字規律，運用了加法和平方。如果，按照別的方式取數，還可以發現一些有趣的數字規律。比如，可以用乘法，這裏就不多寫了。（待續） ◇