從中國古代術數發現數學新可能

文 ◎ 梅花一點

數學最早是研究量、結構、變化以及空間模型的學科，對中國古代的學人來說，「數」是宇宙萬物的直接體現。重新認識中國古代術數理念，也許可以打破現代數學的局限。

我們現在對於數學的理解，來自於現代（西方）科學的框架，也只是通過現代的數學來看待數學這一門學問。這種框框必然把數學當作現代自然科學的一部份來看待，也必然局限在現代自然科學研究範圍的框框中來談論、研究數學，同時，也使數學沒有逃脫現代自然科學對於自然、宇宙、生命、人類和社會歷史的局限看法，最終導致數學的研究走入了現代人研究科學的框框中——也就是認識了一種事物以後才去研究他。

現代人一般是把計數和度量當作數學的全部範疇。所以，數學史家們在研究數學史的時候，一般從人類怎樣發明記數的符號和文字開始研究，然後就是關於記數的方法和各種測量的工具等等的考古發現，最後就是古代一些關於現代數學的定理、公式、方程式等等的發現。

中國古代數學與西方現代數學

對於中國古代數學，中國數學史家一般以《周髀算經》為始點，認為他是中國現存最早的一部數學典籍，專家考證成書時間在周漢期間，跨度大。

嚴格說來，《周髀算經》是一部天文著作，因為要討論天文曆法，而敘述了一些有關的數學知識；其中重要的題材有勾股定理、比例測量與計算天體方位所不能避免的分數四則運算。

當然，也有以《九章算術》為始點。另外，也有把二十世紀八十年代發現的《算術書》作為開始。

再如，現代數學發現了極限理論以後，回過頭來看中國的公元前三百年的莊子的一句話：「一尺之捶，日取其半，萬世不竭。」（《莊子‧天下篇》）有學者認為這是無限分割理論，或許極限的概念不夠恰當，就認為早在莊子時代就有了極限觀念了。

這就是所謂的典型的發現。也即現代科學的發現出來以後，才承認古人早有認識；而不是因為古人早有認識而給予相應的重視。往往開始的態度是迴避、懷疑，直到現代科學發現了才趕緊承認他，吹捧他。

北京白雲觀有處十二生肖牆，它興建於一九九三年，位於觀內元辰殿外。而地支和生肖都是十二個，所以每一個地支都對應一個生肖。(Getty Images)

門的上方懸掛的八卦圖案。中間是一面鏡子，稱作「照妖鏡」。(維基百科)

類似的情況還有。比如當前對於《周易》的數學文化內涵，基本也停留在近代人發現的二進制的思想基礎上作闡述。研究者也已經開始發現，單以二進制的角度來闡釋《周易》的數學思想是不充份、不完整的，甚至有很多曲解在裏面。因為從二進制的角度來理解《周易》就變成了先有二進制的發明，然後才能去理解《周易》。這樣其實是用二進制思想代替《周易》的思想了。

這些都是用現代數學或現代科學的理論與觀念來看待數學的歷史發展的；現代數學沒有發現或認識到的東西往往視而不見。

數學最早是研究量、結構、變化以及空間模型的學科。在現代，數學又是利用邏輯形式研究現實世界的空間形式和數量關係的學科，儘管對某一特定結構的研究往往屬於自然科學，特別是物理學的範疇。同時由於數學自身的發展，數學家也要研究純粹屬於數學內部的結構。

就例如那個著名的勾股法，描述的是人的肉眼所看到的固定空間的一種幾何形式。在這種情況下，才能進行計算。而一旦超出一點點肉眼所看到的固定空間，包括觀念中的設想的空間，勾股法就不適用了。

那麼，如果一個人不相信有超出人的肉眼所看到的空間的存在的時候，就會不可能發現超出肉眼看到的空間數學模式了。當然，這裏不是貶低勾股法；這種勾股法對於人類的生存空間還是有具體的實際的功用。

可以看出來，數學的思想內涵也在不斷的向各方向延伸；特別在物理學上，各種事物的物理結構的發現往往也能開闢出新的數學模式的誕生。這種延伸在數學領域中，會發生許多變革，包括重新反省數學自身的思想。

中國古代文化如何理解數學

然而，中國古代的學人並不是這樣看待數與數學的。首先，「數」是宇宙萬物的直接體現。當然，嚴格來說，「數」就在宇宙萬物本身之中；反過來也可以這麼說，因為宇宙萬物的運動是有規律的、有定數的，所以更加能夠用「數」來體現萬物。

其次，在這裏，需要解釋「數」與「數字」的區別。「數」一般是通過「數字」來表現的，但也可以用別的方式來表現，所以「數」並不完全等同於「數字」。

舉個例子：像《周易》中的八卦，隨意掂出一卦，如乾卦、巽卦，可通過卦象知道它相應代表的數字；但卦象的內涵卻不等同於數字的內涵。也就是說，「數」的內涵是無法用「數字」完整的表現出來的；或者說「數字」只能是部份的、局部的表現「數」的內涵。所以，二者是不能等同起來的。古人也不把「數」完全等同於「數字」一意，只要是能表現出一定規律的內涵都稱為「數」。

第三，實際上，「數」還有「規律、命運」的含義，只不過現代語言學家把此義當作引申義來對待。然而，在此處，這個所謂的「引申義」卻是理解「數」的關鍵所在。

因此，當我們把「數」的計算、規律、命運等內涵合在一起，就能知道古代人是如何全面的、整體的把握「數」的。《漢書．律曆志》曰：「數者，一十百千萬也，所以算數事物，順性命之理。《書》曰：『先其算命。』……探賾索隱、鉤深致遠，莫不用焉。」可見，算數與「性命之理」、與「算命」是有密切關聯的。而這「性命文化」與數學之間的關係，對於用現代思想思維著的人或研究者來說，還是一個充滿迷霧的領域，是有待開拓與發掘的。

不同文化內涵不同數學展現

南宋秦九韶在《〈數書九章〉序》中說，數學「大則通神明，順性命；小則可以經世物，類萬物」，「今數術之書，尚餘三十家。天象曆度，謂之『綴術』；太乙壬甲，謂之『三式』，皆曰內算，言其祕也。《九章》所載，即周官『九數』；繫於方圓者，為『（讀：專）術』，皆曰外算，對內而言也。其用相通，不可歧二。」（《內算與外算》，俞曉群，《文史知識》一九九一年第十期。）

位於四川理縣桃坪羌寨，是目前保存最完整的羌族建築。該地的建築為傳統的八卦佈局，屋群背山面水，格局緊湊。(Getty Image)

那麼，這裏的「內算」的內涵接近「術數」，主要指天文曆數，太乙、六壬、奇門遁甲三式等等；而「外算」的內涵接近現在意義的「數學」。而《四庫全書總目提要》指出術數的類別中，專門提到一種「數學」，曰：「物生有象，象生有數，乘除推闡，務究造化之源者，是為數學。」這說明「術數」的內涵裏也包括有以數字為模式的「數學」。至於說到「術數」，則是研究命理文化的運算技巧。在這裏，「內算」、「外算」的說法是相對而言的；但是，這兩個的用法是相通的，不可以分歧、分離他們。那麼他們二者之間的緊密聯繫，在筆者看來，就跟「數字」及部份基本運算規則（如：加減乘除）的應用是一致的，也是不可分開的使用的。當然，可能還有其他相似的、相通的因素，這有待研究。

從這三點來看，數學這個學科知識體系是與文化緊密相關的，現代的許多數學家、哲學家已經意識到這個現象的真實性。不難預見，數學的內涵將會因為不同文化的內涵的擴展而被發掘出來；同時，不同的文化內涵本身也會引發與其相應的數學內涵的展現。就像「性命文化」內涵在中國古代是很發達的，也被人們很廣泛的應用和流傳；所以，要瞭解、明瞭中國古代數學的真實情況，則需要透徹理解中國古代文化的實質。要想發現或者發明新的數學，首先必須有新的文化內涵在人間出現，才有這種可能性。

天干地支與中國術數文化

大家都知道中國的天干地支：

甲子丙子戊子庚子壬子
乙丑丁丑己丑辛丑癸丑
丙寅戊寅庚寅壬寅甲寅
丁卯己卯辛卯癸卯乙卯
戊辰庚辰壬辰甲辰丙辰
己巳辛巳癸巳乙巳丁巳
庚午壬午甲午丙午戊午
辛未癸未乙未丁未己未
壬申甲申丙申戊申庚申
癸酉乙酉丁酉己酉辛酉
甲戌丙戌戊戌庚戌壬戌
乙亥丁亥己亥辛亥癸亥

其中天干是：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸。

地支是：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥。

為大家所聞名的用動物來配地支是：鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬。

天干地支合在一起就是六十花甲，配出六十個數：這些就是一種記數的辦法。他和現在的星期的記數、月份的記數方式是一樣的。像星期有七個數；月有十二個數。

天干地支出現的目的，是把宇宙時間的循環周期在人類社會反映的東西體現出來，具體表現為一種時間的記數，但不是通過數字來表現的；而其中關於時間的循環周期規律卻一目了然。這是中國古代「數」的一個特徵。

羅盤是現代指南針的前身。(新紀元)

著名易學者潘雨廷《讀易提要》中說道：「考黃帝時甲子已通行，今得殷墟文，於六十甲子屢見不鮮。蓋不明周期，必不能明事物之變。先民之成六十甲子，實悟乎周期變化之原也。吾國之文化，於六十甲子關係殊密，以曆言，尤重甲子。」（《讀易提要》潘雨廷著，張文江整理，上海古籍出版社，二零零三年三月。）

天干地支，在大的方面可表現天象、人類社會的規律，小的方面可體現人體的或具體事物的細微變化規律。

比如，在大的方面最有說服力的是，中國逢九（公元的紀年）必有大事發生：一九一九年、一九二九年、一九三九年、一九四九年、一九五九年、一九六九年、一九七九年、一九八九年、一九九九年。而這些規律與天干的每十年一個周期是一致的。現在大陸研究者有研究地震規律的，也發現六十年左右為一個大地震周期，符合六十甲子的干支周期規律。

再比如，中醫把人體裏面的時間變化當作治療的一個依據，其中的時間記數辦法就使用天干地支。

天干地支具有完整的體系性和全面性，是一種時間記數的體系。他們是時間的一種完整全面的科學體系。這體現在：

A、天干地支可以應用到年、月、日、時辰的記數，既具有數字的特徵，又有一種周期循環規律的特徵。

B、天干地支對於人體生命的時間應用同樣有效。

C、干支的排列不僅是固定的、不能隨意更改次序，而且甚麼具體時間排甚麼干支也是固定的、不可隨意變換，所以對於時間的循環周期也是有規律的、可預見的，就如同春夏秋冬的周期變化也是可以預見的一樣。

這些都符合中國古代「數」的所有內涵。

天干地支相配，符合現代數學的排列組合的理論。這只是現代人的認識，把天干地支純粹當作一種數字的模式去認識，剝離了其中的文化內涵，自然就不理解天干地支對於時間應用的整體把握和科學規律。

天干地支雖然只有二十二個字，但對於時間內涵的來說，具有完整的體系性和全面性的表現，應該認為是一種時間記數和宇宙時間周期規律的體系；而且在宇宙萬物的宏觀、微觀上都有全面完整的表現。所以，天干地支既是一種時間記數方法，又是一種宇宙時間觀，更是一種「天人合一」的文化科學觀。（待續）◇